Lineare Algebra Beispiele

$9 x + 2 y = 30$ , $3 x - 4 y = 24$

Schritt 1

Löse in $9 x + 2 y = 30$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$9 x = 30 - 2 y$

$3 x - 4 y = 24$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 30 - 2 y$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 30 - 2 y$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{30}{9} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{30}{9} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{30}{9} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{30}{9} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{30}{9} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $9$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $30$ heraus.

$x = \frac{3 (10)}{9} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$x = \frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 3} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Schritt 1.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 3} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Schritt 1.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{10}{3} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $3 x - 4 y = 24$ durch $\frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$ .

$3 (\frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $3 (\frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}) - 4 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\frac{10}{3}) + 3 (- \frac{2 y}{9}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{10}{3}) + 3 (- \frac{2 y}{9}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$10 + 3 (- \frac{2 y}{9}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 + 3 (- \frac{2 y}{9}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 y}{9}$ in den Zähler.

$10 + 3 (\frac{- 2 y}{9}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$10 + 3 (\frac{- 2 y}{3 (3)}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 + 3 (\frac{- 2 y}{3 \cdot 3}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$10 + \frac{- 2 y}{3} - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 + \frac{- 2 y}{3} - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 - \frac{2 y}{3} - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 - \frac{2 y}{3} - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.2

Um $- 4 y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$10 - \frac{2 y}{3} - 4 y \cdot \frac{3}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1.3.1

Kombiniere $- 4 y$ und $\frac{3}{3}$ .

$10 - \frac{2 y}{3} + \frac{- 4 y \cdot 3}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$10 + \frac{- 2 y - 4 y \cdot 3}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 + \frac{- 2 y - 4 y \cdot 3}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.1.4.1.1

Faktorisiere $2 y$ aus $- 2 y - 4 y \cdot 3$ heraus.

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Schritt 2.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $2 y$ aus $- 2 y$ heraus.

$10 + \frac{2 y (- 1) - 4 y \cdot 3}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.2

Faktorisiere $2 y$ aus $- 4 y \cdot 3$ heraus.

$10 + \frac{2 y (- 1) + 2 y (- 2 \cdot 3)}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.4.1.1.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (- 1) + 2 y (- 2 \cdot 3)$ heraus.

$10 + \frac{2 y (- 1 - 2 \cdot 3)}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 + \frac{2 y (- 1 - 2 \cdot 3)}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.4.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$10 + \frac{2 y (- 1 - 6)}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.4.1.3

Subtrahiere $6$ von $- 1$ .

$10 + \frac{2 y \cdot - 7}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.4.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$10 + \frac{- 14 y}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 + \frac{- 14 y}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 2.2.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 - \frac{14 y}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 - \frac{14 y}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 - \frac{14 y}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 - \frac{14 y}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 - \frac{14 y}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3

Löse in $10 - \frac{14 y}{3} = 24$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{14 y}{3} = 24 - 10$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $10$ von $24$ .

$- \frac{14 y}{3} = 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$- \frac{14 y}{3} = 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- \frac{3}{14}$ .

$- \frac{3}{14} \cdot (- \frac{14 y}{3}) = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $- \frac{3}{14} (- \frac{14 y}{3})$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{14}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{14} \cdot (- \frac{14 y}{3}) = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{14 y}{3}$ in den Zähler.

$\frac{- 3}{14} \cdot \frac{- 14 y}{3} = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3.3.1.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{3 (- 1)}{14} \cdot \frac{- 14 y}{3} = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3.3.1.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 1}{14} \cdot \frac{- 14 y}{3} = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3.3.1.1.1.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{14} \cdot (- 14 y) = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$\frac{- 1}{14} \cdot (- 14 y) = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $14$ aus $- 14 y$ heraus.

$\frac{- 1}{14} \cdot (14 (- y)) = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{14} \cdot (14 (- y)) = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3.3.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 3.3.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3.3.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{14}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$ durch $- 3$ .

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 (- 3)}{9}$

$y = - 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{10}{3} - \frac{2 (- 3)}{9}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $9$ .

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Schritt 4.2.1.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $2 (- 3)$ heraus.

$x = \frac{10}{3} - \frac{3 (2 \cdot (- 1))}{9}$

$y = - 3$

Schritt 4.2.1.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1.1.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$x = \frac{10}{3} - \frac{3 (2 \cdot (- 1))}{3 (3)}$

$y = - 3$

Schritt 4.2.1.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{10}{3} - \frac{3 (2 \cdot (- 1))}{3 \cdot 3}$

$y = - 3$

Schritt 4.2.1.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 \cdot (- 1)}{3}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 \cdot (- 1)}{3}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 \cdot (- 1)}{3}$

$y = - 3$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{10}{3} - \frac{- 2}{3}$

$y = - 3$

Schritt 4.2.1.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{10}{3} + \frac{2}{3}$

$y = - 3$

Schritt 4.2.1.1.4

Multipliziere $- - \frac{2}{3}$ .

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Schritt 4.2.1.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = \frac{10}{3} + 1 (\frac{2}{3})$

$y = - 3$

Schritt 4.2.1.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{10}{3} + \frac{2}{3}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} + \frac{2}{3}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} + \frac{2}{3}$

$y = - 3$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{10 + 2}{3}$

$y = - 3$

Schritt 4.2.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.1.2.2.1

Addiere $10$ und $2$ .

$x = \frac{12}{3}$

$y = - 3$

Schritt 4.2.1.2.2.2

Dividiere $12$ durch $3$ .

$x = 4$

$y = - 3$

$x = 4$

$y = - 3$

$x = 4$

$y = - 3$

$x = 4$

$y = - 3$

$x = 4$

$y = - 3$

$x = 4$

$y = - 3$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(4, - 3)$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(4, - 3)$

Gleichungsform:

$x = 4, y = - 3$

Schritt 7